Didacticiel DGPad

Si \(A\) et \(B\) sont deux points déjà existants la calculatrice DGPad permet l'entrée \(A+B\).

Une validation directe renvoie la liste de la somme des coordonnées.

Mais un clic sur l'icône « point » en haut à droite renvoie le point \(C\) défini par \(\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\).

L'addition des points, ça n'existe pas ! En réalité c'est un raccourci commode pour calculer la somme de leurs coordonnées.

Ajouter des points c'est possible dans DGPad. Mais les multiplier aussi. Là encore c'est une liste (ou un point) qui sont obtenus, avec une définition à priori un peu mystérieuse.

La figure ci-dessous va permettre d'élucider le mystère. La clé ? Passer aux coordonnées polaires.

Quelques grandes lignes sur ce que peut inspirer l'analyse de cette figure.

• Au niveau algébrique, il semble bien que la règle soit la suivante : on multiplie les rayons (désormais appelés modules) et on ajoute les angles (désormais appelés arguments). Conséquence : l'opération * est commutative.

• L'axe horizontal c'est l'axes des réels, qui est plongé dans le plan de ces nouveaux nombres. Quand \(A\) et \(B\) sont sur l'axe horizontal (mode coordonnées cartésiennes), donc des réels (la deuxième coordonnée disparaît, c'est voulu). Alors l'opération * .. c'est tout simplement le produit ordinaire. D'où l'idée de garder le nom produit, même lorsque A et B sont quelconques.

• Si \(A\) est placé en J, observer et conclure. Si \(A\) et \(B\) sont placés en \(J\) : \(J*J=-1\) !

• Question : \(A\) est placé sur l'axe des réels, \(B\) est quelconque. Quelle transformation fait passer de \(B\) à \(A*B\) ? Pour mieux visualiser, \(B\) est un point de l'image « Rantanplan », et la transformation concerne aussi « Rantanplan » (il vaut mieux le mode coordonnées polaires).

• Cette fois \(A\) est placé sur le cercle unité (mode coordonnées polaires). Mêmes questions.

• Après être passé en mode création, créer une demi-droite d'origine O puis aimanter \(A\) par cette demi-droite. Le passage de \(B\) à \(A*B\) est une rotation de centre \(O\) et d'angle l'argument de \(A\), suivie d'une homothétie de centre \(O\) et de rapport le module de \(A\).

Un très rapide cours sur les transformations précédentes (qui ne sont plus au programme). Mais qui suffit pour comprendre la suite.

Les rotations :

• ce sont des isométries (Al-Kashi ...)

• donc elles conservent les milieux (caractérisation du milieu)

• donc elles transforment un parallélogramme en un parallélogramme.

Les homothéties :

• Un vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est transformé en \(k  \overrightarrow{AB}\)

• donc un parallélogramme est transformé en un parallélogramme.

C'est la figure ci-dessus qui est utilisée.

Le quadrilatère rose est un parallélogramme : il a été obtenu en entrant \(B+C\) dans la calculatrice.

Il y a deux méthodes pour obtenir le sommet non nommé du parallélogramme gris :

• soit entrer \(A*B+A*C\) dans la calculatrice (attention il faut choisir les points à la souris et nom entrer leurs noms directement)

• soit entrer \(A*(B+C)\) puisque l'image d'un parallélogramme par une rotation suivie d'une homothétie est un parallélogramme.

Il y a bien distributivité de l'addition par rapport à la multiplication.

Dans ce qui précède on n'hésite pas à ajouter des points et à les mutiplier ! Mais il faut bien avoir à l'esprit que ce ne sont que des raccourcis. En réalité sous chaque point du plan se trouve un « nouveau nombre » (un nombre complexe) appelé affixe de ce point ; et ce sont les affixes qui sont ajoutées ou multipliées. L'affixe d'un point \(A\) se note \(z_A\), et la multiplication se note comme pour les réels : ce qui est cohérent puisque pour les réels on a vu que l'opération * coïncide avec la multiplication connue.

• L'affixe du point J se note \(i\). Ainsi \(i\times i=-1\), ce qui s'écrit aussi \(i^2=-1\)

• L'affixe d'un point peut être le couple \((x,y)\) de ses coordonnées cartésiennes. Désormais on pourra l'écrire \((x,0)+i\times (y,0)\) ou plus simplement \(x+iy\) : tout à fait justifié puisque le produit par \(i\) fait subir une rotation de centre O et d'angle 90° et que l'ensemble des réels est « plongé » dans l'ensemble des complexes ;

• Elle peut être aussi le couple de ses coordonnées polaires \((r,\theta)\). Désormais on lui préfèrera la notation \(re^{i\vartheta}\). Que vient faire l'exponentielle là dedans ? pour l'instant ce n'est qu'une notation justifiée par le fait que la multiplication de complexes multiplie les modules et ajoute les arguments : \((r,\theta)*(r',\theta')=(r\times r',\theta + \theta')\) ; de même que : \(re^{i\theta}\times r'e^{i\theta'}=r\times r'e^{i(\theta + \theta')}\)

• Un petit calcul à effectuer : \((x+iy)(x'+iy')\). Et vérifier sur des exemples dans la toute première figure que cela correspond bien à l'opérateur * quand on choisit les coordonnées cartésiennes.

Dans le programme officiel de  maths expertes  on propose : « Étude expérimentale de l’ensemble de Mandelbrot ».

Ce qui est proposé ici c'est beaucoup plus simplement la programmation de la suite des nombres complexes définie par récurrence par :

\(z_{n+1}=z_{n}^2+c\) (et ici \(z_0\) quelconque)

Mais c'est aux élèves q'il est demandé de programmer eux-mêmes de telles suites ... en Blockly.

La suite demandée (avec 2000 points) est déjà construite. Mais c'est une boîte noire : le secret de sa programmation est super-caché. On peut cependant expérimenter ce qui se passe quand c varie.

Même type de question, mais cette fois sans utiliser de fonction : le calcul de l'image se fait directement dans la boucle.